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Perché 0,999…=1?
05 09 2010 
Spesso mi capita di fare questa domanda a . studenti di diversi ordini e gradi per scoprire che l’argomento è per tutti una sconcertante novità.
Mi torna alla mente la scoperta dei numeri irrazionali, tradizionalmente attribuita al pitagorico Ippaso di Metaponto, che scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione . Tuttavia Pitagora credeva nell’assolutezza dei numeri interi, e non poteva accettare l’ esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l’esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.
Ora spero di non essere condannato anch’io (anche perché non ho scoperto nulla di originale e quindi non intendo vantare alcun titolo), ma mi sono deciso a scrivere queste poche righe per evitare di dover raccontare le stesse cose a tante persone diverse.
Veniano alla domanda: “Perché 0,9 periodico è uguale ad 1?” ma poteva essere 7,9999…=8 oppure 4,159999….=4,16 e così via.
Risposta “Perché sono la stessa cosa! due modi diversi di scrivere lo stesso numero reale.”
Capisco però che a chi non ha studiato la matematica con attenzione alla costruzione dei reali, le affermazioni precedenti possono sembrare strane e propongo quindi alcune semplici verifiche e/o dimostrazioni in modo da accontentare gli studenti più giovani e quelli meno giovani.
Cominciamo con la prima:
– Nessuna obiezione al fatto che 1/3+2/3=1 ma se proviamo a scrivere la versione decimale del primo membro otteniamo 0,3333…+0,6666…=0,9999…
– Ancora: 1/9 = 0,111… ma se moltiplichiamo per nove entrambi i membri troviamo: 1= 0,999…
– chiamo con x= 0,999… e opero nel modo seguente
- 10 x= 9,999…
- 10x -x = 9,999…-0,999…
- 9 x =9
- x=1
Può bastare?
C’è anche una versione del prof Bergamini che rimanda alle serie e alla operazione di limite ma sarà utile forse a studenti dell’ultimo anno di liceo. Personalmente ho convinto molte più persone con le considerazioni precedenti.
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3 Comments for this entry
Francesco
Ottimo collega…. hai delle risorse (o sai dove reperirle ) del metodo di Didattica Breve dei corsi di matematica?
dp
Buon pomeriggio caro collega.
Distillati di argomenti per la DB se ne trovano tanti su google, magari più in inglese che in italiano, ma sempre di facile lettura.
E’ da parecchio che non riesco ad aggiungere nulla sul sito perché la scuola è diventata ormai vorace di tutto il tempo che abbiamo nella giornata.
Spero nell’estate di potermi dedicare all’ozio (inteso alla latina) e di tornare a divertirmi con la matematica e la fisica. Grazie del tempo che hai dedicato alle mie divagazioni 🙂
salvatore fabrizio
l’ho appena finito di spiegare a un mio nipotino (di II media) e dopo che ci siamo convinti (entrambi) della logica rigorosa della tua dimostrazione, lui ha rifatto l’operazione due volte e mi ha detto che domani a scuola sfiderà i suoi compagni e la stessa insegnante (con cui non dialogo molto bene).
Grazie Mimmo, ti voglio bene
salvatore